PROFIA
Exemple réel • Maths (3e) • PGCD : deux méthodes
Conversation issue d'une session réelle, anonymisée.
Riri*, élève de 3ème, n'avait pas compris le PGCD. 10 minutes plus tard, il maîtrisait deux méthodes.
Repères de lecture
PROFIA guide l'élève par questions, vérifie ce qu'il a retenu, puis construit la compréhension pas à pas.
1) Vérifier
Tester ce que l'élève a retenu du cours.
2) Construire
Guider pas à pas vers la compréhension des diviseurs.
3) Approfondir
Maîtriser la seconde méthode (décomposition en facteurs premiers).
Conversation complète
Bienvenue Riri* ! La dernière fois on avait commencé les climats avant ta pause.
On continue dessus ou tu as autre chose à travailler aujourd'hui ?
On continue dessus ou tu as autre chose à travailler aujourd'hui ?
je veux travailler en maths sur le PGCD. J'ai pas trop compris avec le prof en classe
D'accord, on va reprendre ça ensemble !
Le PGCD, c'est quoi pour toi ?
Tu peux me dire ce que tu as retenu, même si c'est flou ?
Le PGCD, c'est quoi pour toi ?
Tu peux me dire ce que tu as retenu, même si c'est flou ?
les lettres ça veut dire plus grand commun diviseur
C'est exact ! Tu as retenu l'essentiel.
Maintenant, le mot diviseur — tu sais ce que ça veut dire ?
Maintenant, le mot diviseur — tu sais ce que ça veut dire ?
bah oui c'est quand on divise
C'est une bonne piste !
Je vais préciser un peu.
Un diviseur d'un nombre, c'est un nombre qui divise exactement — c'est-à-dire sans reste.
Par exemple : 3 est un diviseur de 12, parce que 12 ÷ 3 = 4 (pile, sans reste).
Maintenant, est-ce que 5 est un diviseur de 12 ?
Je vais préciser un peu.
Un diviseur d'un nombre, c'est un nombre qui divise exactement — c'est-à-dire sans reste.
Par exemple : 3 est un diviseur de 12, parce que 12 ÷ 3 = 4 (pile, sans reste).
Maintenant, est-ce que 5 est un diviseur de 12 ?
non non car 12 / 5 ça marche pas, 12 c'est pas dans la table des 5
✓ Exactement !
12 n'est pas dans la table de 5, donc 5 n'est pas un diviseur de 12.
Maintenant, essaie de trouver tous les diviseurs de 12.
Tu en trouves combien ?
12 n'est pas dans la table de 5, donc 5 n'est pas un diviseur de 12.
Maintenant, essaie de trouver tous les diviseurs de 12.
Tu en trouves combien ?
2 6 3 4
Bien, tu en as trouvé plusieurs !
Mais tu en as oublié quelques-uns.
Est-ce que 1 divise 12 ? (12 ÷ 1 = ?)
Mais tu en as oublié quelques-uns.
Est-ce que 1 divise 12 ? (12 ÷ 1 = ?)
ah oui il faut rajouter 1 et 12
✓ Bien vu !
Donc les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Maintenant, fais la même chose pour 8.
Trouve tous les diviseurs de 8.
Donc les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Maintenant, fais la même chose pour 8.
Trouve tous les diviseurs de 8.
il y a 1 8 2 4
✓ C'est exact, bien joué !
Maintenant on a :
• Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
• Diviseurs de 8 : 1, 2, 4, 8
Le PGCD, c'est le plus grand nombre qui est dans les deux listes à la fois.
Quels nombres tu vois dans les deux listes ?
Maintenant on a :
• Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
• Diviseurs de 8 : 1, 2, 4, 8
Le PGCD, c'est le plus grand nombre qui est dans les deux listes à la fois.
Quels nombres tu vois dans les deux listes ?
il y a 1 2 et 4 qui sont pareils mais le plus grand c'est 4
✓ Parfait, tu as trouvé tout seul !
Le PGCD de 8 et 12, c'est 4.
Tu viens de comprendre la méthode par liste des diviseurs.
Maintenant, est-ce que ton prof vous a montré une autre méthode pour trouver le PGCD ?
Le PGCD de 8 et 12, c'est 4.
Tu viens de comprendre la méthode par liste des diviseurs.
Maintenant, est-ce que ton prof vous a montré une autre méthode pour trouver le PGCD ?
oui avec les nombres premiers
D'accord !
Tu te souviens comment ça marche, même vaguement ?
Tu te souviens comment ça marche, même vaguement ?
non je sais pas j'ai pas compris
Pas de souci, on va le faire ensemble pas à pas.
D'abord, tu sais ce qu'est un nombre premier ?
D'abord, tu sais ce qu'est un nombre premier ?
je sais plus trop
Un nombre premier, c'est un nombre qui a exactement 2 diviseurs :
1 et lui-même.
Par exemple : 7 est un nombre premier.
Ses seuls diviseurs sont 1 et 7.
Est-ce que 4 est un nombre premier ?
1 et lui-même.
Par exemple : 7 est un nombre premier.
Ses seuls diviseurs sont 1 et 7.
Est-ce que 4 est un nombre premier ?
ah non 4 il a un 4 et 2 comme diviseurs
✓ Exactement !
4 a comme diviseurs 1, 2 et 4 — donc plus que 2 diviseurs.
Ce n'est pas un nombre premier.
Maintenant, est-ce que 5 est un nombre premier ?
4 a comme diviseurs 1, 2 et 4 — donc plus que 2 diviseurs.
Ce n'est pas un nombre premier.
Maintenant, est-ce que 5 est un nombre premier ?
5 oui car il a 1 et 5
✓ Bien raisonné !
Voilà quelques nombres premiers à retenir :
• 2, 3, 5, 7, 11, 13...
Maintenant on va apprendre la méthode avec les nombres premiers.
Ça s'appelle la décomposition en facteurs premiers.
On va décomposer 12 ensemble.
Est-ce que 2 divise 12 ?
Voilà quelques nombres premiers à retenir :
• 2, 3, 5, 7, 11, 13...
Maintenant on va apprendre la méthode avec les nombres premiers.
Ça s'appelle la décomposition en facteurs premiers.
On va décomposer 12 ensemble.
Est-ce que 2 divise 12 ?
oui ça fait 6
✓ Bien !
Donc on écrit : 12 = 2 × 6
Maintenant, est-ce que 2 divise aussi 6 ?
Donc on écrit : 12 = 2 × 6
Maintenant, est-ce que 2 divise aussi 6 ?
oui ça fait 3
✓ Exact !
Donc on écrit : 12 = 2 × 2 × 3
Est-ce que 3 est un nombre premier ?
Donc on écrit : 12 = 2 × 2 × 3
Est-ce que 3 est un nombre premier ?
oui
✓ Parfait !
Donc on s'arrête là.
La décomposition de 12 en facteurs premiers c'est :
12 = 2 × 2 × 3
Maintenant, fais la même chose pour 8.
On commence : est-ce que 2 divise 8 ?
Donc on s'arrête là.
La décomposition de 12 en facteurs premiers c'est :
12 = 2 × 2 × 3
Maintenant, fais la même chose pour 8.
On commence : est-ce que 2 divise 8 ?
8 = 2 x 2 x 2
✓ Excellent, tu as fait les étapes tout seul !
Donc on a :
• 12 = 2 × 2 × 3
• 8 = 2 × 2 × 2
Maintenant, pour trouver le PGCD, on cherche les facteurs communs aux deux.
Quels facteurs tu vois dans les deux décompositions ?
Donc on a :
• 12 = 2 × 2 × 3
• 8 = 2 × 2 × 2
Maintenant, pour trouver le PGCD, on cherche les facteurs communs aux deux.
Quels facteurs tu vois dans les deux décompositions ?
il y a que le 2 qui soit pareil
Tu es sur la bonne piste !
Regarde bien les deux lignes :
• 12 = 2 × 2 × 3
• 8 = 2 × 2 × 2
Combien de fois le 2 apparaît dans les deux listes ?
Regarde bien les deux lignes :
• 12 = 2 × 2 × 3
• 8 = 2 × 2 × 2
Combien de fois le 2 apparaît dans les deux listes ?
il y a 2 x 2 donc ça fait 4
✓ Parfait !
Le PGCD de 8 et 12, c'est 4.
C'est le même résultat qu'avec la première méthode !
Tu viens de maîtriser les deux méthodes pour trouver un PGCD.
Tu veux essayer un exercice tout seul pour vérifier que tu as bien compris ?
Le PGCD de 8 et 12, c'est 4.
C'est le même résultat qu'avec la première méthode !
Tu viens de maîtriser les deux méthodes pour trouver un PGCD.
Tu veux essayer un exercice tout seul pour vérifier que tu as bien compris ?
non c'est bon je crois que j'ai compris j'arrête là
OK !
Aujourd'hui tu as travaillé :
• La définition d'un diviseur
• La méthode par liste des diviseurs
• La méthode par décomposition en facteurs premiers
Note ces deux méthodes dans ton cahier, ça te servira pour le contrôle !
À bientôt Riri* !
Aujourd'hui tu as travaillé :
• La définition d'un diviseur
• La méthode par liste des diviseurs
• La méthode par décomposition en facteurs premiers
Note ces deux méthodes dans ton cahier, ça te servira pour le contrôle !
À bientôt Riri* !